Frattali

I frattali, gli oggetti che descrivono il caos, sono equazioni o sistemi di equazioni non lineari (di grado superiore al primo) che, iterate migliaia di volte, sono capaci di dare origine a forme particolarmente complesse, frastagliate ed irregolari. Il loro nome è stato coniato da Benoit Mandelbrot negli anni settanta, facendolo derivare dal termine latino fractus, cioè frammentato, frastagliato, irregolare.

I frattali sono uno dei tanti possibili esempi di interazione equilibrata tra entropia e sintropia (teoria del caos).

La geometria dei frattali infatti mostra che, inserendo in un sistema geometrico degli attrattori, si generano figure complesse e allo stesso tempo ordinate.

Nella geometria frattale un attrattore è un’operazione, una funzione, che se ripetuta porta il risultato a tendere verso un limite irraggiungibile.

Ad esempio, se si ripete la radice quadrata di un numero superiore a zero (ma diverso da uno) il risultato tenderà ad uno (ma non lo raggiungerà mai). Il numero uno è quindi l’attrattore della radice quadrata. Allo stesso modo, se si continua ad elevare al quadrato un numero superiore a zero il risultato tenderà ad infinito e se si continua ad elevare al quadrato un numero inferiore a zero, il risultato tenderà a zero. Le figure frattali si ottengono nel momento in cui in un’equazione si inseriscono uno o più attrattori.

Caratteristica fondamentale di un sistema frattale è l'auto-similarità. Esso, osservato nei particolari a scala sempre più piccola, rimane simile (o quasi) all'insieme di partenza. Sostanzialmente l'aspetto dei frattali quindi non muta se ingranditi più e più volte.

 
spugna di Menger

Altro elemento degno di nota è la loro dimensione frazionaria, essi stanno infatti «a metà» tra una certa dimensione e la sua successiva. Ciò a prima vista potrebbe sembrare strano, ma in realtà questo comportamento è tipico di alcuni oggetti che appartengono al nostro mondo quotidiano. Pensiamo, per esempio, ad un gomitolo di lana: esso non è altro che un filo che si avvolge in una certa regione di spazio ma che non occupa interamente: esso possiede una dimensione compresa tra 2 e 3.

Quindi un frattale è definito da:

- autosimilarità (invarianza di scala).
- dimensione frazionaria (D).

La geometria frattale sta affascinando molti ricercatori a causa della similarità che alcune di queste figure hanno con l’organizzazione dei sistemi viventi. Infatti, in natura moltissime strutture richiamano la geometria frattale: il profilo delle foglie, lo sviluppo dei coralli, la forma del cervello e le diramazioni dendritiche.

Mandelbrot suggerì che le montagne, le nuvole, i raggruppamenti di galassie e altri fenomeni naturali potessero essere considerati esempi di frattali naturali; da ciò, l’applicazione della geometria dei frattali alle scienze vide un rapidissimo sviluppo. Inoltre, la bellezza dei frattali li ha resi un elemento-chiave nel campo della grafica per computer (>>>).

Un esempio di applicazione del paradigma della geometria frattale ad un progetto architettonico è il Guggenheim di Gehry, in cui circa 26 petali auto-somiglianti sgorgano dal centro e si allungano e si curvano sotto il ponte: si tramutano in pensiline, pareti vetrate e pelli di titanio con le caratteristiche frattali di auto-similarità.